Esercizi di Geotecnica

September 8, 2018 | Author: Bruno Savino Masciandaro | Category: Physics, Physics & Mathematics, Building Engineering, Materials Science, Chemical Product Engineering
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Esercizi svolti del Corso di Geotecnica su: parametri resistenti di rocce e argille; verifiche su muri e diaframmi; cari...

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Esercizi di Geotecnica

POLITECNICO DI TORINO I FACOLTA’ DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA EDILE

Esercizi svolti nel Corso di Geotecnica relativamente a:

Prove triassiali su rocce Prove triassiali su argille

Verifiche di stabilitΓ  su muri e diaframmi Carico limite e capacitΓ  portante su fondazione

1

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 1. Tre provini cilindrici in roccia sono sottoposti a prova di compressione triassiale, tutti e tre hanno diametro pari a 40mm e sono noti i valori della sollecitazione radiale e del carico normale alla rottura. Saranno determinati: a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui piani 𝜏 βˆ’ 𝜎 , 𝜎1 βˆ’ 𝜎3 , 𝑑 βˆ’ 𝑠 b. il piano di rottura su un provino di riferimento c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

prov.1

Ο¬3 [MPa] 2

N [kg] 18600

N [kN] 186

prov.2

4

20400

204

prov.3

8

24800

248

I valori di N sono stati convertiti essendo 1π‘˜π‘” = 10βˆ’2 π‘˜π‘ Area dei provini

𝐴 = πœ‹ βˆ™ 𝐷2 /4 = 1256,6 π‘šπ‘š2 = 0,00125 π‘š2

Dal rapporto tra N ed A si ottengono le sollecitazioni assiali riportati in MPa π‘π‘Ÿπ‘œπ‘£π‘–π‘›π‘œ 1 𝜎1 =

186 π‘˜π‘/π‘š2 = 148800 π‘˜π‘/π‘š2 β†’ 𝜎1 = 148,8 π‘€π‘ƒπ‘Ž 0,00125

π‘π‘Ÿπ‘œπ‘£π‘–π‘›π‘œ 2 𝜎1 =

204 π‘˜π‘/π‘š2 = 163200 π‘˜π‘/π‘š2 β†’ 𝜎1 = 163,2 π‘€π‘ƒπ‘Ž 0,00125

π‘π‘Ÿπ‘œπ‘£π‘–π‘›π‘œ 3 𝜎1 =

248 π‘˜π‘/π‘š2 = 198400 π‘˜π‘/π‘š2 β†’ 𝜎1 = 198,4 π‘€π‘ƒπ‘Ž 0,00125

2

Esercizi di Geotecnica a.1. PIANO 𝑑 βˆ’ 𝑠 Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

Ο¬1 [MPa] 148,8 163,2 198,4

prov.1 prov.2 prov.3

Ο¬3 [MPa] 2 4 8

s = (Ο¬1+Ο¬3)/2 75,4 83,6 103,2

t = (Ο¬1-Ο¬3)/2 73,4 79,6 95,2

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = π‘Ž + 𝑏π‘₯ dove 𝑏=

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ 𝑑𝑒𝑣

= 0,786 π‘π‘œπ‘’π‘“π‘“π‘–π‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… ) βˆ™ (𝑦𝑖 βˆ’ 𝑦̅) = 320,88 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑑𝑒𝑣 = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… )2 = 408,08 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘₯Μ… = βˆ‘

π‘₯1 + π‘₯2 + π‘₯3 = 87,4 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ 𝑁

𝑦̅ = βˆ‘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 82,73 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑦 𝑁

Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi π‘Ž = 𝑦̅ βˆ’ 𝑏π‘₯Μ… = 82,73 βˆ’ 0,78 βˆ™ 87,4 = 14,01 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘Žπ‘›(𝑏) = arctan(0,78) = 38Β°

π‘–π‘›π‘π‘™π‘–π‘›π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž 𝑛𝑒𝑙 π‘π‘–π‘Žπ‘›π‘œ 𝑑 βˆ’ 𝑠

Piano t-s 120

y = 0,786x + 14

100

103,2; 95,2

t [MPa]

80

83,6; 79,6 75,4; 73,4

60 40 20 14 0 0

20

40

60

80

100

120

s [MPa]

3

Esercizi di Geotecnica

a.2. PIANO

πœβˆ’πœŽ

Riportando le coppie 𝜎1 , 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel piano 𝜏 βˆ’ 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e πœ‘

πœ‘ = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(tan 𝛼) = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(0,78) = 51Β° π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘œ π‘‘β€²π‘Žπ‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘œ 𝑐=

π‘Ž 14 = = 22,25 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘π‘œπ‘’π‘ π‘–π‘œπ‘›π‘’ cos πœ‘ 0,629

prov.1 prov.2 prov.3

Ο¬1 [MPa] 148,8 163,2 198,4

Ο¬3 [MPa] 2 4 8

4

Esercizi di Geotecnica

a.3. PIANO

𝜎1 βˆ’ 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = πΆπ‘œ + 𝜎3 𝑁Ѐ 𝑁Ѐ =

πΆπ‘œ =

1 + sin πœ‘ 1 + sin 51 = = 7,97 1 βˆ’ sin πœ‘ 1 βˆ’ sin 51

2c cos Ο† 2(22,25 MPa) cos 51Β° = = 125,66 MPa 1 βˆ’ sin Ο† 1 βˆ’ sin 51Β°

Piano Ο­1-Ο­3 250 8; 198,4 200 4; 163,2 2; 148,8

Ο­1 [MPa]

150

100

50

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ο­3 [MPa]

5

Esercizi di Geotecnica b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA Considerando il provino 1 Γ¨ individuato nel piano 𝜏 βˆ’ 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine dei piani. 𝛼=

πœ‹ Ο† + = 70,5Β° ; 4 2

𝛽=

πœ‹ Ο† βˆ’ = 19,5Β° 4 2

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che Γ¨ giΓ  stato utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 βˆ’ 𝜎3 πΆπ‘œ =

2c cos Ο† 2(22,25 MPa) cos 51Β° = = 125,66 MPa 1 βˆ’ sin Ο† 1 βˆ’ sin 51Β°

6

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 2. Su un provino di calcare viene effettuata una prova di compressione monoassiale, il diametro del provino Γ¨ di 62 mm e l’altezza Γ¨ doppia rispetto al diametro. Di seguito sono ricavati i valori di a. Resistenza a compressione monoassiale πΆπ‘œ b. Modulo elastico secante 𝐸𝑆50 e rapporto di Poisson secante πœˆπ‘†50 in corrispondenza del valore πΆπ‘œ/2 La resistenza a compressione monoassiale Γ¨ nota β†’ 𝜎1 = πΆπ‘œ = 68 π‘€π‘ƒπ‘Ž Si terrΓ  conto della resistenza a compressione monoassiale media πΆπ‘œ/2 = 34 π‘€π‘ƒπ‘Ž Presa una retta parallela all’asse delle ascisse e passante per il punto πΆπ‘œ/2, si individuano le parallele considerando un intervallo βˆ†πœŽ = 10 π‘€π‘ƒπ‘Ž. Per le due curve del diagramma, mandiamo le secanti che intercettano il punto πΆπ‘œ/2 e l’origine, quindi nei punti in cui le parallele incontrano la secante tracciamo l’ortogonale che ci darΓ  i valori specifici sull’asse delle ascisse (βˆ†πœ€π‘ 1 , βˆ†πœ€π‘ 3 ).

ricordando che πœ‡πœ€ = πœ€ βˆ™ 10βˆ’6 , βˆ†πœ€π‘ 1 = 200πœ‡πœ€, βˆ†πœ€π‘ 3 = 75πœ‡πœ€ 𝐸𝑆50 =

βˆ†πœŽ 10 π‘€π‘ƒπ‘Ž = = 50000 π‘€π‘ƒπ‘Ž βˆ†πœ€π‘†1 200 βˆ™ 10βˆ’6

πœˆπ‘†50 =

βˆ†πœ€π‘†3 50 βˆ™ 10βˆ’6 = = 0,25 βˆ†πœ€π‘†1 200 βˆ™ 10βˆ’6

7

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 3. Da una serie di prove di compressione triassiale su campioni di roccia sono ottenuti i risultati in tabella. Saranno determinati: a. i parametri di resistenza al taglio del materiale e rappresentati i corrispondenti criteri di resistenza sui piani 𝜏 βˆ’ 𝜎 , 𝜎1 βˆ’ 𝜎3 , 𝑑 βˆ’ 𝑠 b. il piano di rottura su un provino di riferimento c. il valore della resistenza a compressione monoassiale

Ο¬3 [MPa]

Ο¬1 [MPa]

prov.1

5

86

prov.2

10

104

prov.3

20

147

a.1. PIANO 𝑑 βˆ’ 𝑠 Nel seguito sono riportati i valori per t ed s rappresentati nel piano rispettivo

prov.1 prov.2 prov.3 3

π‘₯Μ… = βˆ‘ 𝑖=1 3

𝑦̅ = βˆ‘ 𝑖=1

Ο¬1 [MPa]

Ο¬3 [MPa]

s = (Ο¬1+Ο¬3)/2

t = (Ο¬1-Ο¬3)/2

86 104 147

5 10 20

45,5 57 83,5

40,5 47 63,5

π‘₯1 + π‘₯2 + π‘₯3 = 62 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ 𝑁 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 50,33 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑦 𝑁

La retta interpolante ha equazione 𝑦 = π‘Ž + 𝑏π‘₯ dove 𝑏=

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ 𝑑𝑒𝑣

= 0,608 π‘π‘œπ‘’π‘“π‘“π‘–π‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž 3

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… ) βˆ™ (𝑦𝑖 βˆ’ 𝑦̅) = 462 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑖=1 3

𝑑𝑒𝑣 = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… )2 = 759,5 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑖=1

8

Esercizi di Geotecnica Con l’interpolazione dei punti t ed s si ricavano i parametri relativi π‘Ž = 𝑦̅ βˆ’ 𝑏π‘₯Μ… = 50,33 βˆ’ 0,608 βˆ™ 62 = 12,62 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘Žπ‘›(𝑏) = arctan(0,608) = 31Β°

π‘–π‘›π‘π‘™π‘–π‘›π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž 𝑛𝑒𝑙 π‘π‘–π‘Žπ‘›π‘œ 𝑑 βˆ’ 𝑠

Piano t-s 80 y = 0,608x + 12,62

70

83,5; 63,5

60

t [MPa]

50

57; 47 45,5; 40,5

40 30 20

12,62 10 0 0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

s [MPa]

9

Esercizi di Geotecnica

a.2. PIANO

πœβˆ’πœŽ

Riportando le coppie 𝜎1 , 𝜎3 ricavate dai tre provini si ottengono i cerchi di Mohr a rottura rappresentati nel piano 𝜏 βˆ’ 𝜎 e sono dati i parametri indipendenti dallo stato tensionale 𝑐 e πœ‘

πœ‘ = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(tan 𝛼) = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(0,6) = 36Β° π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘œ π‘‘β€²π‘Žπ‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘‘π‘œ 𝑐=

π‘Ž 12,62 = = 15,6 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘π‘œπ‘’π‘ π‘–π‘œπ‘›π‘’ cos πœ‘ 0,809

Ο¬3 [MPa]

Ο¬1 [MPa]

prov.1

5

86

prov.2

10

104

prov.3

20

147

10

Esercizi di Geotecnica

a.3. PIANO

𝜎1 βˆ’ 𝜎3

la retta interpolante ha equazione 𝜎1 = πΆπ‘œ + 𝜎3 𝑁Ѐ 𝑁Ѐ =

2c cos Ο† 2(15,6 MPa) cos 36Β° = = 61,26 MPa 1 βˆ’ sin Ο† 1 βˆ’ sin 36Β°

Piano Ο­1-Ο­3 160 140

20; 147

120 100 10; 104

Ο­1 [MPa]

πΆπ‘œ =

1 + sin πœ‘ 1 + sin 36 = = 3,85 1 βˆ’ sin πœ‘ 1 βˆ’ sin 36

80

5; 86

60 40 20 0 0

5

10

15

20

25

Ο­3 [MPa]

11

Esercizi di Geotecnica b. INCLINAZIONE DEL PIANO DI ROTTURA Considerato il provino 1 Γ¨ stato individuato nel piano 𝜏 βˆ’ 𝜎 il piano di rottura ottenuto con il metodo dell’origine dei piani O.P.)

c. RESISTENZA A COMPRESSIONE MONOASSIALE Il valore della resistenza coincide con il parametro di resistenza a taglio del materiale che Γ¨ giΓ  stato utilizzato per la rappresentazione del criterio di resistenza nel piano 𝜎1 βˆ’ 𝜎3 πΆπ‘œ =

2c cos Ο† 2(15,6 MPa) cos 36Β° = = 61,26 MPa 1 βˆ’ sin Ο† 1 βˆ’ sin 36Β°

12

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 4. Un provino in roccia Γ¨ interessato da una discontinuitΓ  avente le seguenti caratteristiche di resistenza a taglio: 𝐽𝑅𝐢 = 14 𝐽𝐢𝑆 = 75 π‘€π‘ƒπ‘Ž πœ‘π‘Ÿ = 32Β° ipotizzando che il provino sia sottoposto a stato tensionale in cui 𝜎1 = 80 π‘€π‘ƒπ‘Ž, 𝜎3 = 20 π‘€π‘ƒπ‘Ž determinare: a. le tensioni agenti sulla discontinuitΓ  e verificare la stabilitΓ  della stessa b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏 c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

stato tensionale principale 𝜎π‘₯𝑦 = |

20 0

0 | [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 80

angolo tra la normale al piano e l’asse x

𝛼 = 90Β° βˆ’ 50Β° = 40Β°

πœŽπ‘› = 𝜎π‘₯ βˆ™ π‘π‘œπ‘  2 𝛼 + πœŽπ‘¦ βˆ™ 𝑠𝑒𝑛2 𝛼 = 20 βˆ™ 0,586 + 80 βˆ™ 0,413

β†’

44,79 π‘€π‘ƒπ‘Ž

1 1 1 1 𝜏 = βˆ’ 𝜎π‘₯ cos 2𝛼 + πœŽπ‘¦ sen 2𝛼 = βˆ’ βˆ™ 20 βˆ™ 0,173 + βˆ™ 80 βˆ™ 0,984 2 2 2 2

β†’

29,544 π‘€π‘ƒπ‘Ž

Stato tensionale agente sulla superficie della discontinuitΓ  nel cerchio di Mohr 𝜎1 + 𝜎3 𝐢=( ; 0) = (πœŽπ‘šπ‘’π‘‘ ; 0) 2 { 𝜎1 βˆ’ 𝜎3 𝑅= = πœπ‘šπ‘Žπ‘₯ 2

β†’

𝐢 = (50; 0) [π‘€π‘ƒπ‘Ž] { 𝑅 = 30 [π‘€π‘ƒπ‘Ž]

13

Esercizi di Geotecnica Applicando il criterio di Barton πœ‘π‘ = 𝐽𝑅𝐢 βˆ™ log

𝐽𝐢𝑆 75 + πœ‘π‘Ÿ = 14 βˆ™ log + 32Β° = 35Β°, 13 πœŽπ‘› 44,79

πœπ‘ = πœŽπ‘› βˆ™ tan πœ‘π‘ = 44,79 π‘€π‘ƒπ‘Ž βˆ™ 0,7 = 31,51 π‘€π‘ƒπ‘Ž 31,51 π‘€π‘ƒπ‘Ž > 29,54 π‘€π‘ƒπ‘Ž β†’

πœπ‘ > πœπ‘Žπ‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’

b. la direzione del piano su cui agisce la massima 𝜏 c. tutti i risultati sul provino e sul cerchio di Mohr

14

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 5. Una superficie con lunghezza di 18m Γ¨ sottoposta alla tensione normale media πœŽπ‘› = 50 π‘˜π‘ƒπ‘Ž lungo tutta la superficie. Determinare la resistenza a taglio della superficie sapendo che su porzioni di essa (L=10cm) sono noti i parametri 𝐽𝑅𝐢 = 14 𝐽𝐢𝑆 = 80 π‘€π‘ƒπ‘Ž πœ‘π‘Ÿ = 25Β°

Effetti di scala 𝐿𝑛 βˆ’0,002𝐽𝑅𝐢0 18π‘š βˆ’0,002βˆ™14 𝐽𝑅𝐢𝑛 = 𝐽𝑅𝐢0 βˆ™ ( ) = 14 βˆ™ ( ) = 3,27 𝐿0 0,1π‘š

πœ‘π‘ = 𝐽𝑅𝐢 βˆ™ log

𝐽𝐢𝑆 πœŽπ‘›

+ πœ‘π‘ = 3,27 βˆ™ log

80 π‘€π‘ƒπ‘Ž 0,05 π‘€π‘ƒπ‘Ž

+ 25Β° = 35Β°, 47

πœπ‘Ÿ = πœŽπ‘› βˆ™ tan πœ‘π‘ = 50 βˆ™ 10βˆ’3 MPa βˆ™ tan35Β°, 47 = 0,035 MPa = 35 KPa

15

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 6. Una prova triassiale di tipo UU Γ¨ effettuata su tre provini. In tabella sono riportati i risultati relativi a tale prova, nell’esercizio verranno ricavati l’inviluppo di rottura e i parametri di resistenza a taglio.

Ο¬c (Ο¬1-Ο¬3)r

PIANO

[KPa] [KPa]

prov.1 300 350

prov.2 400 338

prov.3 500 342

πœβˆ’πœŽ

Per questo tipo di prova i calcoli sono effettuati in termini di tensioni totali calcolo di 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 = 𝜎𝐢 𝜎1𝑅 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅

Ο¬3r=Ο¬c Ο¬1r

[KPa] [KPa]

prov.1 300 650

prov.2 400 738

prov.3 500 842

16

Esercizi di Geotecnica

PIANO 𝑑 βˆ’ 𝑠 calcolo di 𝑑𝑅 , 𝑠𝑅 dove 𝑑𝑅 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 /2 𝑠𝑅 = (𝜎1 + 𝜎3 )𝑅 /2

𝑑𝑅

[π‘˜π‘ƒπ‘Ž]

𝑠𝑅

[π‘˜π‘ƒπ‘Ž]

prov.1 175 475

prov.2 169 569

prov.3 171 671

Parametri di resistenza a taglio: 𝐢𝑒 = (𝑑𝑅1 + 𝑑𝑅2 + 𝑑𝑅3 )/3 = 171,66 π‘˜π‘ƒπ‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘ π‘–π‘ π‘‘π‘’π‘›π‘§π‘Ž π‘Ž π‘‘π‘Žπ‘”π‘™π‘–π‘œ π‘›π‘œπ‘› π‘‘π‘Ÿπ‘’π‘›π‘Žπ‘‘π‘Ž Ο•u = 0

17

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 7. In tabella sono riportati i risultati di tre prove triassiali CIU su argilla. Di seguito sono riportati nei punti i calcoli necessari alla rappresentazione dello stato tensionale ed al tracciamento dell’inviluppo di resistenza a taglio oltre che ad indicare gli stress-path totali ed efficaci della prova.

Ο¬'c Ο¬3 (Ο¬1-Ο¬3)r Ur

PIANO

[KPa] [KPa] [KPa] [kPa]

prov.1 200 200 147 104

prov.2 400 400 301 208

prov.3 600 600 473 294

πœβˆ’πœŽ

essendo βˆ†π‘’ β‰  0 le tensioni totali saranno diverse da quelle efficaci β€² β€² calcolo di 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 , 𝜎1𝑅 𝜎3𝑅 = 𝜎𝐢 = πœŽπΆβ€² β€² 𝜎3𝑅 = 𝜎3𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅

𝜎1𝑅 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅 β€² 𝜎1𝑅 = 𝜎1𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅

Ο¬3r=Ο¬c=Ο¬'c [KPa] Ο¬1r [KPa] Ο¬'3r Ο¬'1r

[KPa] [KPa]

prov.1 200 347

prov.2 400 701

prov.3

96 243

192 493

306 779

600 1073

18

Esercizi di Geotecnica

PIANO 𝑑 βˆ’ 𝑠 Lo stato tensionale in questo piano sarΓ  β€² β€² 𝑑𝑅′ = 𝑑𝑅 = (𝜎1𝑅 βˆ’ 𝜎3𝑅 )/2 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 /2 𝑠𝑅 = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅 )/2 β€² β€² 𝑠𝑅′ = (𝜎1𝑅 + 𝜎3𝑅 )/2

tr = t'r sr s'r

[KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 73,5 273,5 169,5

prov.2 150,5 550,5 342,5

prov.3 236,5 836,5 542,5

19

Esercizi di Geotecnica Rappresentazione dei risultati nel piano t-s,s’

Parametri di resistenza a taglio (graficamente) π‘Žβ€² = 0

𝛼′ = 24Β°

πœ‘ β€² = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›π›Όβ€²) = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›32) = 26,44Β° 𝑐 β€² = π‘Žβ€² /π‘π‘œπ‘ πœ‘ β€² = 0

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) π‘₯Μ… = βˆ‘

π‘₯1 + π‘₯2 + π‘₯3 = 351,5 [π‘˜π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ 𝑁

𝑦̅ = βˆ‘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 153,5 [π‘˜π‘ƒπ‘Ž] 𝑁

π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑦

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… ) βˆ™ (𝑦𝑖 βˆ’ 𝑦̅) = 30440 [π‘˜π‘ƒπ‘Ž] 𝑑𝑒𝑣 = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… )2 = 69686 [π‘˜π‘ƒπ‘Ž] 𝑏=

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ 𝑑𝑒𝑣

= 0,437 π‘π‘œπ‘’π‘“π‘“π‘–π‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž

20

Esercizi di Geotecnica π‘Ž = 𝑦̅ βˆ’ 𝑏π‘₯Μ… = 153,5 βˆ’ 0,437 βˆ™ 351,5 = βˆ’0,05 𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘Žπ‘›(𝑏) = arctan(0,437) = 23,60Β°

Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) 𝛼 β€² = 24Β°

πœ‘ β€² = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›π›Ό β€² ) = 25,90Β°

π‘Žβ€² = 0

𝑐 β€² = π‘Žβ€² /π‘π‘œπ‘ πœ‘ β€² = 0

21

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 8. Da un deposito di argilla sono estratti 4 campioni alla profonditΓ  di 5m rispetto al piano di campagna e su tali campioni sono eseguite prove di compressione triassiale CK0U. Verranno determinati i parametri di resistenza a taglio 𝑐 β€² , πœ‘β€² relativi all’argilla in esame e la resistenza a taglio non drenata Cu per ognuno dei quattro provini.

Ο¬'vc Ο¬'hc (Ο¬1-Ο¬3)r Ur

[KPa] [KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 20 9 17 4

prov.2 50 22.5 44 7

prov.3 100 45 95 11

prov.3 200 90 190 20

Stima dei parametri di resistenza a taglio 𝜎1𝑅 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 + 𝜎3𝑅 β€² 𝜎3𝑅 = πœŽβ„ŽπΆ = πœŽβ„ŽπΆ β€² 𝜎1𝑅 = 𝜎1𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅 β€² 𝜎3𝑅 = 𝜎3𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅 β€² β€² 𝑑𝐢′ = 𝑑𝐢 = (πœŽπ‘£πΆ βˆ’ πœŽβ„ŽπΆ )/2 = (πœŽπ‘£πΆ βˆ’ πœŽβ„ŽπΆ )/2 β€² β€² β€² 𝑠𝐢 = 𝑠𝐢 = (πœŽπ‘£πΆ + πœŽβ„ŽπΆ )/2 = (πœŽπ‘£πΆ + πœŽβ„ŽπΆ )/2 β€² β€² 𝑑𝑅′ = 𝑑𝑅 = (𝜎1 βˆ’ 𝜎3 )𝑅 /2 = (𝜎1𝑅 + 𝑒𝑅 βˆ’ 𝜎3𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅 )/2 β€² β€² (𝜎 )/2 (𝜎 𝑠𝑅 = 1𝑅 + 𝜎3𝑅 = 1𝑅 + 𝑒𝑅 + 𝜎3𝑅 + 𝑒𝑅 )/2 β€² 𝑠𝑅 = 𝑠𝑅 βˆ’ 𝑒𝑅

I calcoli sopracitati sono riportati nella tabella seguente per tutti i quattro provini

Ο¬'vc Ο¬'hc (Ο¬1-Ο¬3)r Ur Ο¬1r Ο¬3r Ο¬'1r Ο¬'3r tc = t'c sc = s'c tr=t'r sr s'r

[KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa] [KPa]

prov.1 20 9 17 4

prov.2 50 22,5 44 7

prov.3 100 45 95 11

prov.3 200 90 190 20

26 9 22 5 5,5 14,5 8,5 17,5 13,5

66,5 22,5 59,5 15,5 13,75 36,25 22 44,5 37,5

140 45 129 34 27,5 72,5 47,5 92,5 81,5

280 90 260 70 55 145 95 185 165

22

Esercizi di Geotecnica

Parametri di resistenza a taglio (graficamente) π‘Žβ€² = 0 𝛼′ = 30Β° πœ‘ β€² = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›π›Όβ€²) = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›30) = 35Β° 𝑐 β€² = π‘Žβ€² /π‘π‘œπ‘ πœ‘ β€² = 0 Analiticamente π‘₯Μ… = βˆ‘

π‘₯1 + π‘₯2 + π‘₯3 = 74,375 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ π‘₯ 𝑁

𝑦̅ = βˆ‘

𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 43,5 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑁

π‘ π‘‘π‘–π‘šπ‘Ž π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘Žπ‘šπ‘’π‘‘π‘Ÿπ‘œ 𝑦

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… ) βˆ™ (𝑦𝑖 βˆ’ 𝑦̅) = 7619,125 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑑𝑒𝑣 = βˆ‘(π‘₯𝑖 βˆ’ π‘₯Μ… )2 = 13329,19 [π‘€π‘ƒπ‘Ž] 𝑏=

π‘π‘œπ‘‘π‘’π‘£ 𝑑𝑒𝑣

= 0,572 π‘π‘œπ‘’π‘“π‘“π‘–π‘π‘–π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Žπ‘›π‘”π‘œπ‘™π‘Žπ‘Ÿπ‘’ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘Ÿπ‘’π‘‘π‘‘π‘Ž

π‘Ž = 𝑦̅ βˆ’ 𝑏π‘₯Μ… = 43,5 βˆ’ 0,572 βˆ™ 74,375 = 0,74 𝛼 = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘‘π‘Žπ‘›(𝑏) = arctan(0,572) = 29,77Β°

23

Esercizi di Geotecnica Parametri di resistenza a taglio (analiticamente) πœ‘ β€² = π‘Žπ‘Ÿπ‘π‘ π‘’π‘›(π‘‘π‘Žπ‘›π›Ό β€² ) = 34,89Β° 𝑐 β€² = π‘Žβ€² /π‘π‘œπ‘ πœ‘ β€² = 0,85

Stima della resistenza a taglio non drenata in ogni campione per il provino 1 𝐢𝑒 = 𝑑𝑅 = 𝑑′𝑅 = 8,5 per il provino 2 𝐢𝑒 = 𝑑𝑅 = 𝑑′𝑅 = 22 per il provino 3 𝐢𝑒 = 𝑑𝑅 = 𝑑′𝑅 = 47,5 per il provino 4 𝐢𝑒 = 𝑑𝑅 = 𝑑′𝑅 = 95 β€² β€² Resistenza a taglio non drenata nel provino in cui πœŽπ‘‰0 = πœŽπ‘‰πΆ β€² β€² se in uno dei quattro provini accade che πœŽπ‘‰0 = πœŽπ‘‰πΆ allora la π‘‘π‘šπ‘Žπ‘₯ a rottura corrisponde alla Cu in sito. Alla profonditΓ  di estrazione dei provini (5m) β€² πœŽπ‘‰0 = πœŽπ‘‰0 βˆ’ 𝑒0 = 𝛾𝑧 βˆ’ 𝛾𝑀 𝑧𝑀 = 20π‘˜π‘/π‘š3 βˆ™ 5π‘š βˆ’ 10π‘˜π‘/π‘š3 βˆ™ 5π‘š = 100π‘˜π‘ƒπ‘Ž βˆ’ 50π‘˜π‘ƒπ‘Ž = 50π‘˜π‘ƒπ‘Ž β€² β€² πœŽπ‘‰0 = πœŽπ‘‰πΆ

β†’

𝑛𝑒𝑙 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘£π‘–π‘›π‘œ 2

𝐢𝑒 = πœπ‘šπ‘Žπ‘₯𝑅 = 𝑑𝑅 = 𝑑′𝑅 = 22 π‘˜π‘ƒπ‘Ž

β†’

β€² 𝐢𝑒 = 𝑓(πœŽπ‘‰0 )

24

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 9. Un muro Γ¨ soggetto alla spinta del terreno (sabbia) su cui grava un carico uniformemente distribuito ed Γ¨ presente una falda a 8m. verrΓ  calcolata la spinta attiva e verrΓ  eseguita la verifica a ribaltamento e scorrimento trascurando la spinta passiva.

In conformitΓ  con le ipotesi di Rankine: -

piano di campagna orizzontale paramento del muro verticale attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle piΓΉ sfavorevoli. Sabbia 𝛾 = 21 π‘˜π‘/π‘š3 , πœ‘ β€² = 38Β° Presenza di falda 𝛾𝑀 = 10 π‘˜π‘/π‘š3 Presenza di sovraccarico π‘ž = 35 π‘˜π‘ƒπ‘Ž = 35 π‘˜π‘/π‘š2 Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue πœŽπ‘‰0 = 𝛾 βˆ™ 𝑧 [π‘˜π‘/π‘š2 ] 𝑒0 = 𝑧 βˆ™ 𝛾𝑀 [π‘˜π‘/π‘š2 ] πœŽβ€²π‘‰0 = πœŽπ‘‰0 βˆ’ 𝑒0 [π‘˜π‘/π‘š2 ] πœŽβ€²π‘Ž = πœŽβ€²π‘‰0 βˆ™ π‘˜π‘Ž [π‘˜π‘/π‘š2 ] 𝑄 = π‘ž βˆ™ π‘˜π‘Ž πœ‹ πœ‘β€² π‘˜π‘Ž = π‘‘π‘Žπ‘›2 ( βˆ’ ) = 0,24 4 2

25

Esercizi di Geotecnica

πœŽπ‘‰0

𝑒0

β€² πœŽπ‘‰0

πœŽπ‘Žβ€²

punti

z [m]

KN/m

KN/mq

KN/mq

KN/mq

A

0

0

0

0

0

B

8

168

0

168

40,32

C

9

189

10

179

42,96

𝑄 KN/mq 8,4

26

Esercizi di Geotecnica

I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare :

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree 𝑃1 = 8 π‘š βˆ™ 40,32 π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 161,28 π‘˜π‘/π‘š 𝑃2 = 1 π‘š βˆ™ 40,32 π‘˜π‘/π‘š2 = 40,32 π‘˜π‘/π‘š 𝑃3 = 1 π‘š βˆ™ (42,96 βˆ’ 40,32) π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 1,32 π‘˜π‘/π‘š 𝑃𝑀 = 1 π‘š βˆ™ 10 π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 5 π‘˜π‘/π‘š π‘ƒπ‘ž = 9 π‘š βˆ™ 8,4 π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 75,6 π‘˜π‘/π‘š

La spinta risultante (spinta attiva) Γ¨ la seguente π‘ƒπ‘Ž = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 + 𝑃𝑀 + π‘ƒπ‘ž = 283,52 π‘˜π‘/π‘š Il punto di applicazione delle spinte Γ¨ quello piΓΉ valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti 𝑀1 = 𝑃1 βˆ™ 𝑏1 = 161,28 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 3,67 π‘š = 591,90 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀2 = 𝑃2 βˆ™ 𝑏2 = 40,32 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 0,5 π‘š = 20,16 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀3 = 𝑃3 βˆ™ 𝑏3 = 1,32 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 0,33 π‘š = 0,44 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀𝑀 = 𝑃𝑀 βˆ™ 𝑏𝑀 = 5 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 0,33 π‘š = 1,65 π‘˜π‘π‘š/π‘š π‘€π‘ž = π‘ƒπ‘ž βˆ™ π‘π‘ž = 75,6 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 4,5 π‘š = 340,20 π‘˜π‘π‘š/π‘š

Il momento totale Γ¨ 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑀 + π‘€π‘ž = 954,65 π‘˜π‘π‘š/π‘š

27

Esercizi di Geotecnica VERIFICA A RIBALTAMENTO A MONTE DEL MURO Calcolo dei momenti ribaltanti :

Il momento ribaltante Γ¨ dato dalle rispettive spinte attive (forze orizzontali) moltiplicate per i relativi bracci; esso tende ad instabilizzare la struttura. Essendo state moltiplicate le spinte per i bracci rispettivi in precedenza, il momento ribaltante Γ¨ il momento totale π‘€π‘Ÿπ‘–π‘ = 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑀 + π‘€π‘ž = 648,65 π‘˜π‘π‘š/π‘š Calcolo dei momenti stabilizzanti :

28

Esercizi di Geotecnica Il momento stabilizzante Γ¨ dato dalle forze verticali moltiplicate per i rispettivi bracci, esso tende a stabilizzare la struttura e quindi e a contrastare il ribaltamento della struttura. Dividendo la sezione del muro in figure geometriche regolari. Per ogni figura, moltiplicando il volume V per la densitΓ  del calcestruzzo (𝛾𝑐𝑙𝑠 = 25 π‘˜π‘/π‘š3 ) per le figure P1, P2,P3 e per la densitΓ  della sabbia (π›Ύπ‘ π‘Žπ‘π‘π‘–π‘Ž = 21 π‘˜π‘/π‘š3 ) per la figura P4, si ottiene il peso W. Dall’equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene il valore di M.

V

W

bw

M

mc/m

kN/m

m

kNm/m

P1

4

100

0,66

66

P2

5,6

140

1,35

189

P3

5

125

2,5

312,5

P4

26,4

554,14

3,35

1857,24

Nel calcolo Γ¨ stato trascurato il sovraccarico q che contribuisce alla stabilitΓ  del muro, andando quindi a FAVORE DI SICUREZZA. Infatti se la struttura Γ¨ verificata senza considerare il carico (Q=q . 3,3); a maggior ragione considerandolo, aumenterΓ  il carico e il momento stabilizzante e con esso anche il Fattore di Sicurezza.

π‘€π‘ π‘‘π‘Žπ‘ = 2424,9 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝐹𝑠 = π‘€π‘ π‘‘π‘Žπ‘ /π‘€π‘Ÿπ‘–π‘ β‰₯ 1,5 𝐹𝑠 = π‘€π‘ π‘‘π‘Žπ‘ /π‘€π‘Ÿπ‘–π‘ = 2424,9/954,65 = 2,54 > 1,5

VERIFICATO

VERIFICA A SCORRIMENTO A MONTE DEL MURO Tenendo conto dei pesi W delle figure calcolati per la verifica a ribaltamento, del coefficiente d’attrito 𝛿 terreno/piede del muro e della spinta attiva π‘ƒπ‘Ž deve essere soddisfatta la disuguaglianza

𝐹𝑠 = dove 2 𝛿 = πœ‘ β€² = 25,33 β†’ tan 𝛿 = 0,47 3 π‘Šπ‘– = 919,14 π‘˜π‘/π‘š π‘ƒπ‘Ž = 283,52 π‘˜π‘/π‘š

β†’

𝐹𝑠 =

βˆ‘ π‘Šπ‘– tan 𝛿 β‰₯ 1,3 π‘ƒπ‘Ž

919,14 βˆ™ 0,47 = 1,52 β‰₯ 1,3 283,52 VERIFICATO

29

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 10. Con riferimento al caso riportato nel disegno eseguire la verifica a sifonamento del diaframma ( Fs=4 ), nell’ipotesi di percorso semplificato. Calcolare la spinta attiva agente sul diaframma ed il suo punto di applicazione, trascurando l’attrito tra struttura e terreno e considerando il moto di filtrazione.

In conformitΓ  con le ipotesi di Rankine: -

piano di campagna orizzontale paramento del muro verticale attrito nullo tra terreno e muro

i calcoli sono effettuati sulla base degli sforzi efficaci essendo le condizioni a lungo termine quelle piΓΉ sfavorevoli.

Argilla 𝛾 = 21 π‘˜π‘/π‘š3 , πœ‘ β€² = 32Β° Presenza di falda 𝛾𝑀 = 10 π‘˜π‘/π‘š3 Presenza di coesione 𝑐′ = 10 π‘˜π‘ƒπ‘Ž = 10 π‘˜π‘/π‘š2

30

Esercizi di Geotecnica Verifica a sifonamento del diaframma, nell’ipotesi di percorso semplificato: 𝐹𝑆 = 4 gradiente critico: 𝛾 β€² 𝛾 βˆ’ 𝛾𝑀 21 βˆ’ 10 𝑖𝑐 = = = = 1,1 𝛾𝑀 𝛾𝑀 10 gradiente richiesto: 𝑖𝑐 1,1 𝑖𝑐𝐹𝑠 = = = 0,275 𝐹𝑠 4 Percorso semplificato di filtrazione: 𝐿 = 9π‘š + 9π‘š + 4π‘š = 22π‘š gradiente di efflusso: βˆ†π» 5 𝑖𝑒 = = = 0,227 𝐿 22 0,275 > 0,227

β†’

𝑖𝑐𝐹𝑠 > 𝑖𝑒

VERIFICATO

Una ulteriore verifica Γ¨ il calcolo del fattore di sicurezza reale 𝑖𝑐 1,1 𝐹𝑆 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’ = β‰₯ 𝐹𝑆 π‘Ÿπ‘–π‘β„Žπ‘–π‘’π‘ π‘‘π‘œ β†’ 𝐹𝑆 π‘Ÿπ‘’π‘Žπ‘™π‘’ = = 4,85 β‰₯ 4 𝑖𝑒 0,227

31

Esercizi di Geotecnica Di seguito sono riportate le formule da cui si ottengono i valori nella tabella che segue: πœŽπ‘‰0 = 𝛾 βˆ™ 𝑧 [π‘˜π‘/π‘š2 ] π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘π‘Ž = 𝑧𝑀 βˆ™ 𝛾𝑀 [π‘˜π‘/π‘š2 ] π‘’π‘‘π‘–π‘›π‘Žπ‘šπ‘–π‘π‘Ž = 𝑖 βˆ™ 𝑧𝑀 βˆ™ 𝛾𝑀 [π‘˜π‘/π‘š2 ] π‘’π‘‘π‘œπ‘‘ = π‘’π‘ π‘‘π‘Žπ‘‘π‘–π‘π‘Ž βˆ’ π‘’π‘‘π‘–π‘›π‘Žπ‘šπ‘–π‘π‘Ž [π‘˜π‘/π‘š2 ]

( moto di filtrazione dall’alto verso il basso )

πœŽβ€²π‘‰0 = πœŽπ‘‰0 βˆ’ 𝑒0 [π‘˜π‘/π‘š2 ] 𝐢 β€² = βˆ’ 2 βˆ™ 𝑐 β€² βˆ™ βˆšπ‘˜π‘Ž πœŽβ€²π‘Ž = πœŽβ€²π‘‰0 βˆ™ π‘˜π‘Ž βˆ’ 2 βˆ™ 𝑐 β€² βˆ™ βˆšπ‘˜π‘Ž [π‘˜π‘/π‘š2 ] πœ‹ πœ‘β€² π‘˜π‘Ž = π‘‘π‘Žπ‘›2 ( βˆ’ ) = 0,31 4 2 𝑖 = 0,227

punti

z [m]

A

0

B

1

C

14

283

KN/m

KN/mq

KN/mq

KN/mq

KN/mq

0

0

10

10 140

KN/mq

KN/mq

0

0

0

0

0

0

10

0

-11,14

-11,14

29,51

110,49

172,51

-11,14

42,34

32

Esercizi di Geotecnica

(11,14 + 42,34)π‘˜π‘/π‘š2 ∢ 13π‘š = 42,34 π‘˜π‘/π‘š ∢ 𝑋 𝑋=

13π‘š βˆ™ 42,34 π‘˜π‘/π‘š = 10,29 π‘š (11,14 + 42,34)π‘˜π‘/π‘š2

33

Esercizi di Geotecnica I calcoli sono stati eseguiti su 1metro lineare:

Le spinte sono date calcolando le rispettive aree 𝑃1 = 10,29π‘š βˆ™ 42,34 π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 217,84 π‘˜π‘/π‘š 𝑃𝑀1 = 1,00 π‘š βˆ™ 10,00 π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 5,00 π‘˜π‘/π‘š 𝑃𝑀2 = 13 π‘š βˆ™ 10 π‘˜π‘/π‘š2 = 130 π‘˜π‘/π‘š 𝑃𝑀3 = 13 π‘š βˆ™ (110,49 βˆ’ 10,00) π‘˜π‘/π‘š2 /2 = 653,18 π‘˜π‘/π‘š

La spinta risultante (spinta attiva) Γ¨ la seguente: π‘ƒπ‘Ž = 𝑃1 + 𝑃𝑀1 + 𝑃𝑀2 + 𝑃𝑀3 = 1006,02 π‘˜π‘/π‘š Il punto di applicazione delle spinte Γ¨ quello piΓΉ valle del muro, rispetto a tale punto sono calcolati i momenti 𝑀1 = 𝑃1 βˆ™ 𝑏1 = 217,84 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 3,41 π‘š = 747,19 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀𝑀1 = 𝑃𝑀1 βˆ™ 𝑏𝑀1 = 5,00 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 13,33 π‘š = 66,65 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀𝑀2 = 𝑃𝑀2 βˆ™ 𝑏𝑀2 = 130,00 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 6,5 π‘š = 845,0 π‘˜π‘π‘š/π‘š 𝑀𝑀3 = 𝑃𝑀3 βˆ™ 𝑏𝑀3 = 653,18 π‘˜π‘/π‘š βˆ™ 4,33 π‘š = 2828,27 π‘˜π‘π‘š/π‘š

Il momento totale Γ¨ 𝑀𝑇𝑂𝑇 = 𝑀1 + 𝑀2 + 𝑀3 + 𝑀𝑀 + π‘€π‘ž = 4487,11 π‘˜π‘π‘š/π‘š

Punto di applicazione della spinta attiva: π‘€π‘‘π‘œπ‘‘ = π‘ƒπ‘‘π‘œπ‘‘ βˆ™ π‘§π‘‘π‘œπ‘‘ => π‘§π‘‘π‘œπ‘‘ =

π‘€π‘‘π‘œπ‘‘ 4487,11 = = 4,46 π‘š π‘ƒπ‘‘π‘œπ‘‘ 1006,02

34

Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 11. Con riferimento alla fondazione riportata in figura si richiede di calcolare π‘žπ‘™π‘–π‘š , π‘žπ‘Žπ‘šπ‘š

Nel caso in esame il terreno Γ¨ un’argilla poco SC, le condizioni a breve termine in termini di sforzi efficaci sono quelle piΓΉ sfavorevoli, ma non conoscendo le βˆ†π‘’ β‰  0 la formula di Brinch-Hansen non puΓ² essere applicata. Quindi verrΓ  applicato il Criterio di Tresca in termini di sforzi totali.

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 𝐢𝑒 βˆ™ 𝑁𝑐 βˆ™ 𝑠𝑐0 βˆ™ 𝑑𝑐0 βˆ™ 𝑖𝑐0 βˆ™ 𝑏𝑐0 βˆ™ 𝑔𝑐0 + π‘ž 𝐢𝑒 /πœŽβ€²π‘£0 = 0,34 𝑁𝑐 = 2 + πœ‹ = 5,14 π‘“π‘Žπ‘‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’ 𝑑𝑖 π‘π‘Žπ‘π‘Žπ‘π‘–π‘‘Γ  π‘π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘Žπ‘›π‘‘π‘’ π‘ž = πœŽπ‘£0 = 𝛾 βˆ™ 𝐷 π‘ π‘œπ‘£π‘Ÿπ‘Žπ‘π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘π‘œ π‘Žπ‘”π‘’π‘›π‘‘π‘’ π‘Žπ‘™ π‘π‘œπ‘Ÿπ‘‘π‘œ π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘“π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ (π‘‘π‘’π‘›π‘ π‘–π‘œπ‘›π‘– π‘‘π‘œπ‘‘π‘Žπ‘™π‘–) 𝑠𝑐0 = 1 + 0,4𝐡/𝐿 = 1,16 π‘“π‘Žπ‘‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’ 𝑑𝑖 π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘Ž π‘‘π‘’π‘™π‘™π‘Ž π‘“π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘’ 𝑑𝑐0 = 1 + 0,2𝐷/𝐡 = 1,08 π‘“π‘Žπ‘‘π‘‘π‘œπ‘Ÿπ‘’ 𝑑𝑖 π‘π‘Ÿπ‘œπ‘“π‘œπ‘›π‘‘π‘–π‘‘Γ  𝑑𝑒𝑙 π‘π‘–π‘Žπ‘›π‘œ 𝑑𝑖 π‘π‘œπ‘ π‘Ž π·π‘šπ‘–π‘› = 1π‘š 𝑖 = 1 𝑖𝑛 π‘Žπ‘ π‘ π‘’π‘›π‘§π‘Ž 𝑑𝑖 π‘π‘Žπ‘Ÿπ‘–π‘β„Žπ‘– 𝑏 = 𝑔 = 1 π‘π‘’π‘Ÿπ‘β„ŽΓ¨ π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘§π‘§π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘™π‘– I coefficienti correttivi s, d, i, b, g hanno lo stesso significato di quelli considerati nella formula di BrinchHansen π‘ž = 𝛾 βˆ™ 𝐷 = 19 π‘˜π‘/π‘š2 2𝐡 𝑧𝑒 = 𝐷 + 𝑧 = 1π‘š + = 4,18π‘š 𝑧 = 3,18π‘š πœ‹ πœŽβ€²π‘‰0 = (𝛾 βˆ™ 𝑧𝑒 ) βˆ’ 𝛾𝑀 (𝑧𝑒 βˆ’ 𝐷) = (19π‘˜π‘/π‘š3 βˆ™ 4,18π‘š) βˆ’ (10π‘˜π‘/π‘š3 βˆ™ 3,18π‘š) = 47,62 π‘˜π‘/π‘š2 𝐢𝑒 = 0,34 βˆ™ πœŽβ€²π‘£0 = 16,19 π‘˜π‘/π‘š2

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 𝐢𝑒 βˆ™ 𝑁𝑐 βˆ™ 𝑠𝑐0 βˆ™ 𝑑𝑐0 βˆ™ 𝑖𝑐0 βˆ™ 𝑏𝑐0 βˆ™ 𝑔𝑐0 + π‘ž π‘žπ‘Žπ‘šπ‘š =

π‘žπ‘™π‘–π‘š βˆ’π‘ž 𝐹𝑠

+π‘ž

β†’

β†’

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 123,25 π‘˜π‘/π‘š2

π‘žπ‘Žπ‘šπ‘š = 53,75 π‘˜π‘/π‘š2

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Esercizi di Geotecnica

E S E R C I Z I O 12. Con riferimento alla fondazione nastriforme poggiante su sabbia, si richiede di calcolare il π‘žπ‘™π‘–π‘š ed eseguire la verifica a capacitΓ  portante.

Dato che il terreno Γ¨ una sabbia, siamo in condizioni drenate, βˆ†π‘’ = 0, la verifica Γ¨ effettuata con la formula di Brinch-Hansen in termini di gli sforzi efficaci. 1

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 𝛾 β€² βˆ™ 𝐡 βˆ™ 𝑁𝛾 βˆ™ 𝑠𝛾 βˆ™ 𝑖𝛾 βˆ™ 𝑏𝛾 βˆ™ 𝑔𝛾 + π‘žβ€² βˆ™ π‘π‘ž βˆ™ π‘ π‘ž βˆ™ π‘‘π‘ž βˆ™ π‘–π‘ž βˆ™ π‘π‘ž βˆ™ π‘”π‘ž 2

Calcolo dell’eccentricitΓ  𝑒=

𝑀 20π‘˜π‘π‘š = = 0,12 π‘š 𝑁 170π‘˜π‘

Tenendo conto dell’eccentricitΓ  la base della fondazione di cui si tiene conto non Γ¨ la base iniziale 𝐡, bensΓ¬ una base ridotta π΅π‘Ÿ π΅π‘Ÿ = 𝐡 βˆ’ 2𝑒 = 2,76 π‘š Influenza della falda a livello di piano di campagna 𝛾 β€² = 𝛾 βˆ’ 𝛾𝑀 = 22π‘˜π‘/π‘š3 βˆ’ 10π‘˜π‘/π‘š3 = 12 π‘˜π‘/π‘š3 π‘ž β€² = 𝜎 β€² 𝑣0 = 𝛾 β€² βˆ™ 𝐷 = 12π‘˜π‘/π‘š3 βˆ™ 3π‘š = 36 π‘˜π‘/π‘š2

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Esercizi di Geotecnica Coefficienti correttivi 𝑠=1 𝑏=1 𝑔=1 𝑑=1

π‘π‘’π‘Ÿ π‘“π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘§π‘–π‘œπ‘›π‘– π‘›π‘Žπ‘ π‘‘π‘Ÿπ‘–π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘– π‘π‘’π‘Ÿ π‘π‘–π‘Žπ‘›π‘œ 𝑑𝑖 π‘π‘œπ‘ π‘Ž π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘§π‘§π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘™π‘’ π‘π‘’π‘Ÿ π‘π‘–π‘Žπ‘›π‘œ 𝑑𝑖 π‘π‘Žπ‘šπ‘π‘Žπ‘”π‘›π‘Ž π‘œπ‘Ÿπ‘–π‘§π‘§π‘œπ‘›π‘‘π‘Žπ‘™π‘’ π‘π‘’π‘Ÿ π‘’π‘ π‘ π‘’π‘Ÿπ‘’ π‘Ž π‘“π‘Žπ‘£π‘œπ‘Ÿπ‘’ 𝑑𝑖 π‘ π‘–π‘π‘’π‘Ÿπ‘’π‘§π‘§π‘Ž π‘›π‘œπ‘› π‘Žπ‘π‘π‘™π‘–π‘β„Žπ‘–π‘Žπ‘šπ‘œ π‘™π‘Ž π‘“π‘œπ‘Ÿπ‘šπ‘’π‘™π‘Ž 𝐻 π‘š+1 85 3 𝑖𝛾 = [1 βˆ’ ] = [1 βˆ’ ] = 0,125 𝑁 170 𝐻 π‘š 85 2 π‘–π‘ž = [1 βˆ’ ] = [1 βˆ’ ] = 0,25 𝑁 170 𝑁𝛾 = 92,25 Fattori di capacitΓ  portante per πœ‘ β€² = 39Β° β†’ { π‘π‘ž = 55,96

1

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 𝛾 β€² βˆ™ 𝐡 βˆ™ 𝑁𝛾 βˆ™ 𝑖𝛾 + π‘ž β€² βˆ™ π‘π‘ž βˆ™ π‘–π‘ž 2

β†’

π‘žπ‘™π‘–π‘š = 694,6 π‘˜π‘/π‘š2

VERIFICA DELLA CAPACITA’ PORTANTE

π‘žπ‘ π‘’π‘Ÿπ‘£ =

𝐹𝑠 =

π‘Š π΅π‘Ÿ βˆ™1π‘š

π‘žπ‘™π‘–π‘š π‘žπ‘ π‘’π‘Ÿπ‘£

=

>3

170π‘˜π‘ 2,76π‘š2

= 61,59 π‘˜π‘/π‘š2

β†’

694,6 61,59

= 11,28 > 3 VERIFICATO

37

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